“过三点的圆”的教学设计

教材内容：九年制义务教材初三几何第三册 P.71--P.73

教学目标：

知识目标：

1、通过问题的解决过程，使学生明确三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，理解“不在一直线上的三点确定一个圆”。

2、使学生能熟练掌握应用尺规过不在一直线上三点作圆的方法，并为今后学习交轨法作图作准备。

3、向学生渗透转化、分类讨论等这样一些数学思想方法，为今后继续进一步学习数学打下基础。

能力目标：

1、通过学生自己动手作图，在动手参与的过程中探索、发现科学知识，进一步提高学生动手做的积极性。

2、提高学生应用数学知识解决生活中实际问题的能力。

情感目标：

1、增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性。

2、培养学生树立良好的创新意识、养成永无止境的科学探索精神。

教学重点：过不在一直线上的三点作圆的方法

教学难点：如何确定圆的思维过程

教学过程：

1、投影片出示初始问题：

现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片，想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子，请问这块残片还有用吗？怎样去配制呢？

思考：如何解决这一实际问题？下面我们共同探寻解决这一问题的办法

探究①：过一个已知点A如何作圆？（让学生动手去完成）

学生讨论并发现：过点A所作圆的圆心在哪儿（圆心不定）？半径多大（半径不定）？可以作几个这样的圆（无数个）？

探究②：过已知两点A、B如何作圆？（学生动手去完成）

学生继续讨论并发现：它们的圆心到A、B两点的距离怎样？能用式子表示吗(OA=OB)?圆心在哪里(在直线AB的垂直平分线上)？过点A、B两点的圆有几个(无数个)？

探究③:过同一平面内三个点的情况会怎样呢?

分两种情况研究：

（一）求作一个圆，使它经过不在一直线上三点A、B、C，

已知：不在一直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C。（学生口述作法，教师示范作图过程）

学生讨论并发现：这样一共可作几个圆（一个）？圆心在哪里(线段AB、AC、BC的垂直平分线的交点)？到A、B、C三点的距离怎样？（OA＝OB＝OC）

（二）过在一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？（不能作出）

发现结论：

定理：过不在一直线上的三点确定一个圆

（1）向学生讲明“确定”的含义：过不在一直线上的三点能作圆，并且只能作一个圆（存在性、唯一性）

定理证明过程简述

（2）如图：⊙O称为△ABC的外接圆，△ABC称为⊙O的内接三角形，O为三角形ABC的外心。

2、回到初始问题的解决(让学生口述解决的办法)

①在残片上任取三点A、B、C，连结AB、AC

②分别作AB、AC的垂直平分线，并交于一点O，O为圆心。

③连结OA，以OA为半径画圆即可。

3、巩固及应用

（一）判断题：

（1）过两点可以作无数个圆。（ ）

（2）顶点都在圆上的三角形叫做圆的外接三角形。（ ）

（3）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。（ ）

（4）三角形的外心到三边的距离相等。（ ）

（5）经过不在一直线上的四点能作一个圆。（ ）

（二）填空题：

如图：⊙O是△ABC的 ______ 圆，△ABC是⊙O的 ________ 三角形，O是△ABC的 ______ 心，它是 __________ 线的交点，到三角形 __________ 距离相等。

（三）动手题（机动部分）

现有一丁字尺（CD是AB的垂直平分线），请你利用它来寻找左边这个圆的圆心。

思考：（1）过三角形的三个顶点是否都可以作圆？为什么？

（2）一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？为什么？

（3）三角形的外心有什么性质？它一定在三角形的内部吗？画图说明（分组完成，比赛哪一组快）

三角形的外心是否在三角形的内部要分类讨论：（投影片显示）

（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；

（2）钝角三角形的外心在三角形的外部；

（3）直角三角形的外心在斜边的中点处。

4、小结

通过本节课的学习，知道了根据什么条件可确定一个圆？任何一个三角形都有一个圆，它称为三角形的外接圆？这个圆心是三角形的什么特殊点？它有哪些性质？它一定在三角形的外部吗？

5、作业（详见课本、练习册）